Question

Здравствуйте помогите решить интеграл - $\int\limits {\frac{\sqrt{x} }{\sqrt{x} +1} } \, dx$ .


Я знаю, что тут надо принять $t^{2} =x,$ и $\sqrt{x} =t$ . В итоге получится

$\int\limits {\frac{t}{t+1} } \, dt$. А как решать это дальше?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

√x=t  ;   x=t² ;  (x)'=(t²)' ;  dx=2tdt

∫ (t2t/(t+1))dt=∫2(t²/(t+1))dt  для упрощения дроби к числителю прибавим и отнимем t+1

2∫((t²+t-t-1+1)/(t+1))dt=2∫(t(t+1)-(t+1)+1)/(t+1))dt=2∫(t-1+(1/(t+1))dt=2∫tdt-2∫dt+2(1/(t+1))dt=2(t²/2)-2t-2∫(1/(t+1)d(t+1)=t²-2t+2LnIt+1I+c=x-2√x+2ln(√x+1)+c

Answer 2

$\int \frac{\sqrt{x}\, dx}{\sqrt{x}+1}=[\; t=\sqrt{x}\; ,\; x=t^2\; ,\; dx=2t\, dt\; ]=\int \frac{t\cdot 2t\, dt}{t+1}=2\int \frac{t^2\, dt}{t+1}=\\\\=2\int (t-1+\frac{1}{t+1})dt=2\cdot (\frac{t^2}{2}-t+ln|t+1|)+C=\\\\=x-2\sqrt{x}+2\, ln|\sqrt{x}+1|+C$