Question

Решите показательные неравенства

Answer 1

$1)\; \; \; 4^{-x+0,5}\cdot 7\cdot 2^{-x}-4<0\\\\2^{-2x+1}\cdot 2^{-x}\cdot 7<4\\\\2^{-3x+1}<\frac{4}{7}\; \; \; \to \; \; 2^{-3x+1}<2^{log_2{\frac{4}{7}}}\\\\-3x+1<log_2\frac{4}{7}\\\\x>\frac{1}{3}\cdot (1-log_2\frac{4}{7})$

$2)\; \; \; 9^{\sqrt{x^2-3}}+3<28\cdot 3^{\sqrt{x^2-3}-1}\; ,\; \; ODZ:\; x^2-3\geq 0\; ,\\\\t=3^{\sqrt{x^2-3}}>0\; ,\; \; \; t^2+3<\frac{28}{3}t\; \; ,\; \; 3t^2-28t+9<0\; ,\\\\D/4=14^2-27=169\; ,\; \; t_{1,2}=\frac{14\pm 13}{3}\; \; ,\; \; t_1=\frac{1}{3}\; ,\; \; t_2=9\\\\3(t-\frac{1}{3})(t-9)<0\; \; \to \; \; t\in (\frac{1}{3}\, ,\, 9)\\\\3^{-1}<3^{\sqrt{x^2-3}}<3^2\; \; \to \; \; \; \; -1<\sqrt{x^2-3}<2\; \; \to \; \; \; 0\leq \sqrt{x^2-3}<2\; ,\\\\x^2-3<4\; ,\; \; x^2-7<0\; ,\; \; (x-\sqrt7)(x+\sqrt7)<0\; ,$

$znaki:\; \; +++(-\sqrt7)---(\sqrt7)+++\qquad x\in (-\sqrt7,\sqrt7)\\\\\left \{ {{x^2-3\geq 0} \atop {x\in (-\sqrt7,\sqrt7)}} \right. \; \; \left \{ {{(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)\geq 0} \atop {x\in (-\sqrt7,\sqrt7)}} \right. \; \; \left \{ {{x\in (-\infty ,-\sqrt3\, ]\cup [\, \sqrt3,+\infty )} \atop {x\in (-\sqrt7,\sqrt7)}} \right. \; \; \Rightarrow \\\\x\in (-\sqrt7,-\sqrt3\, ]\cup [\, \sqrt3,\sqrt7)$

Если в примере №1 описка, и стоит не знак умножения перед  $2^{-x}$  , а знак плюс, то решение такое:

$3)\; \; 4^{-x+0,5}\cdot 7+2^{-x}-4<0\\\\2^{-2x+1}\cdot 7+2^{-x}-4<0\\\\t=2^{-x}>0\; \; ,\; \; 14t^2+t-4<0\; ,\; \; D=225$

$t_1=\frac{-1-15}{2\cdot 14}=-\frac{4}{7}\; ,\; \; t_2=\frac{-1+15}{2\cdot 14}=\frac{1}{2}\\\\14\cdot (t+\frac{4}{7})(t-\frac{1}{2})<0\\\\znaki:\; \; \; +++(-\frac{4}{7})---(\frac{1}{2})+++\; \; \; t\in (-\frac{4}{7}\, ,\, \frac{1}{2})\\\\t>0\; \; \to \; \; t\in (\, 0,\frac{1}{2})\\\\0<2^{-x}<\frac{1}{2}\; \; ,\; \; 0<2^{-x}<2^{-1}\; \; \Rightarrow \; \; -x<-1\; ,\\\\x>1$