Question

Найди предел,используя метод Лопиталя.

Answer 1

$f(x)=(x+2^{x})^{\frac{1}{x}}\; \; ,\; \; lnf(x)=\frac{1}{x}\cdot ln(x+2^{x})\\\\\lim\limits _{x \to +\infty}lnf(x)=\lim\limits _{x \to +\infty}\frac{ln(x+2^{x})}{x}=\Big [\frac{\infty }{\infty }\Big ]=\lim\limits _{x \to +\infty}\frac{\frac{1+2^{x}ln2}{x+2^{x}}}{1}=\\\\=\lim\limits _{x \to +\infty}\frac{1+2^{x}ln2}{x+2^{x}}=\Big [\frac{\infty }{\infty }\Big ]=\lim\limits _{x \to +\infty}\frac{0+2^{x}ln^22}{1+2^{x}ln2}=\Big [\frac{\infty }{\infty }\Big ]=\\\\=\lim\limits _{x \to +\infty}\frac{2^{x}ln^32}{2^{x}ln^22}=\lim\limits _{x \to \infty}ln2=ln2$

$\lim\limits _{x \to +\infty}ln(x+2^{x})^{\frac{1}{x}}=ln2\; \; \Rightarrow \; \; \; \lim\limits _{x \to +\infty}(x+2^{x})^{\frac{1}{x}}=e^{ln2}=2$