Question

помогите решите интеграл

Answer 1

$\int cos^3\frac{x}{2}\cdot sin^5\frac{x}{2}\, dx=\int sin^5\frac{x}{2}\cdot cos^2\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}\, dx=\\\\\int sin^5\frac{x}{2}\cdot (1-sin^2\frac{x}{2})\cdot cos\frac{x}{2}\, dx=\int (sin^5\frac{x}{2}-sin^7\frac{x}{2})\cdot cos\frac{x}{2}\, dx=\\\\=\Big [\; t=sin\frac{x}{2}\; ,\; dt=\frac{1}{2}\cdot cos\frac{x}{2}\, dx\; \Big ]=2\int (t^5-t^7)\, dt=2\cdot (\frac{t^6}{6}-\frac{t^8}{8})+C=\\\\=\frac{1}{3}\cdot sin^6\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\cdot sin^8\frac{x}{2}+C\; .$