Question

Помогите решить. Нужно вычислить предел функции

Answer 1

$1)\; \; \lim\limits _{x \to \pi }\frac{ln(cos2x)}{ln(cos4x)}=\Big [\, \frac{0}{0}\, \Big ]=\lim\limits _{x \to \pi }\frac{ln(1+(cos2x-1))}{ln(1+(cos4x-1))}=\\\\=\lim\limits _{x \to \pi }\frac{cos2x-1}{cos4x-1}=\lim\limits _{x \to \pi }\frac{1-cos2x}{1-cos4x}=\lim\limits _{x \to \pi }\frac{2sin^2x}{2sin^22x}=\lim\limits _{x \to \pi }\frac{x^2}{(2x)^2}=\frac{1}{4}\\\\\star \; ln(1+\alpha )\sim \alpha \; ,\; \; sin\alpha \sim \alpha \; ,\; esli\; \; \alpha \to 0\; \star$

$2)\; \; \lim\limits _{x \to 0}(1-x\cdot sin^2x)^{\frac{1}{ln(1+\pi x^3)}}=\lim\limits _{x \to 0}\Big (\Big (1-x\cdot sin^2x\Big )^{\frac{1}{x\cdot sin^2x}}\Big )^{\frac{x\cdot sin^2x}{ln(1+\pi x^3)}}=\\\\\\=e^{\lim\limits _{x \to 0}\frac{x\cdot x^2}{\pi x^3}}=e^{\frac{1}{\pi }}=e^{\pi ^{-1}}$