Question

Сравните числа:
а) ㏒₃4 и $\sqrt[4]{2}$
б) ㏒₂3 и $\sqrt[3]{7}$

Прошу, подробно, не могу сам разобраться.

Answer 1

В таких задания полезно найти какое нибудь промежуточное число и сравнить с ним оба исходных. В первом случае такое число 5/4. В самом деле:

Ясно, что $2<\left(\frac{5}{4} \right)^4$. Тогда

$\sqrt[4]{2} <\frac{5}{4}$

Сравним теперь логарифм с 5/4:

$\log_3 4\ V\ \frac{5}{4} \\4\log_3 4\ V\ 5\log_3 3\\4^4\ V\ 3^5\\256\ V\ 243\\V= ">"$

То есть

$\log_3 4>\frac{5}{4}>\sqrt[4]{2}$

Почему я выбрал именно 5/4? Методом тыка. Сразу было очевидно, что оба числа лежат где то на отрезке [1; 2], более того, можно доказать, что оба числа меньше 3/2. Дальше выбираем относительно красивую дробь. Я выбрал 1.25=5/4. Вдруг повезет?

Теперь со вторым. Тут сгодится 7/4.

Легко доказать, что

$log_2 3<\frac{7}{4} <\sqrt[3]{7}$