Question

$\bf\displaystyle log_{3}(9^{x + \frac{3}{2}}+4)-log_{3}(10^{5} - 3^{x+\frac{5}{2}})=x-\frac{1}{2}$

Answer 1

Очевидно, что сумма корней равна -2. Ладно шучу, не очевидно.

Используем в левой части и правой части свойства логарифмов:

$\log_3\frac{9^{x+\frac{3}{2}}+4}{10^5-3^{x+\frac{5}{2}}} =\log_3 3^{x-\frac{1}{2}}\\\frac{9^{x+\frac{3}{2}}+4}{10^5-3^{x+\frac{5}{2}}}=3^{x-\frac{1}{2}}\\\frac{27\cdot3^{2x}+4}{10^5-9\sqrt{3}\cdot3^{x}}=\frac{3^x}{\sqrt{3}} \\3^x=t\\27\sqrt{3}t^2+4\sqrt{3}=10^5t-9\sqrt{3}t^2\\36\sqrt{3}t^2-10^5t+4\sqrt{3}=0$

Очевидно, что это квадратное уравнение имеет действительные корни, причем по теореме Виета:

$t_1\cdot t_2=\frac{4\sqrt{3}}{36\sqrt{3}} =\frac{1}{9}$

Возвращаемся к иксу:

$3^{x_1}\cdot 3^{x_2}=\frac{1}{9} \\3^{x_1+x_2}=3^{-2}\\x_1+x_2=-2$