Question

Решите тригонометрические уравнения 3,4,5
Нужно с решением
3) sin 3x sin 2x - cos 3x cos 2x =1
4) 1 - cos x = sin x/2
5) 2cos^2 x + sin x + 1 = 0

Answer 1

3.

$\sin3x\sin2x-\cos3x\cos2x=1\\\cos3x\cos2x-\sin3x\sin2x=-1\\\cos(3x+2x)=-1\\\cos5x=-1\\5x=\pi+2\pi n\\\boxed{x=\dfrac{\pi}{5}+ \frac{2\pi n}{5}, \ n\in\mathbb{Z}}$

4.

$1-\cos x=\sin\dfrac{x}{2}\\\\\left(\cos^2\dfrac{x}{2}+\sin^2\dfrac{x}{2}\right)-\left(\cos^2\dfrac{x}{2}-\sin^2\dfrac{x}{2}\right)=\sin\dfrac{x}{2}\\\\2\sin^2\dfrac{x}{2}-\sin\dfrac{x}{2}=0\\\\\sin\dfrac{x}{2}\left(2\sin\dfrac{x}{2}-1\right)=0$

Решаем первое уравнение:

$\sin\dfrac{x}{2}=0\\\\\dfrac{x}{2}=\pi n \\\\\boxed{x_1=2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}}$

Решаем второе уравнение:

$2\sin\dfrac{x}{2}-1=0\\\\\sin\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2}\\\\\dfrac{x}{2}=(-1)^k\dfrac{\pi}{6} +\pi k\\\\ \boxed{x_2=(-1)^k\dfrac{\pi}{3} +2\pi k, \ k\in \mathbb{Z} }$

5.

$2\cos^2x+\sin x+1=0\\2(1-\sin^2x)+\sin x+1=0\\2-2\sin^2x+\sin x+1=0\\-2\sin^2x+\sin x+3=0\\2\sin^2x-\sin x-3=0\\D=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-3)=25\\\sin x\neq \dfrac{1+5}{2\cdot2}=\dfrac{3}{2} >1\\\\\sin x=\dfrac{1-5}{2\cdot2}=-1\Rightarrow \boxed{x=-\frac{\pi}{2} +2\pi n, \ n\in \mathbb{Z}}$