Question

Уравнение $\sqrt[3]{F(x)}+\sqrt[3]{G(x)}+\sqrt[3]{H(x)}=0$ часто решают таким способом: переносим третье слагаемое направо, возводим левую и правую части в куб, получая при этом уравнение

$F(x)+G(x)+3\sqrt[3]{F(x)\cdot G(x)}\left(\sqrt[3]{F(x)}+\sqrt[3]{G(x)}\right)=-H(x).$

С помощью исходного уравнения заменяем скобку в левой части уравнения на $-\sqrt[3]{H(x)},$ получая при этом (вообще говоря, неравносильное исходному) уравнение

$F(x)+G(x)+H(x)=3\sqrt[3]{F(x)\cdot G(x)\cdot H(x)}.$
Пусть $x_0$ - корень получившегося уравнения. Докажите, что он НЕ является корнем исходного уравнения тогда и только тогда, когда

$F(x_0)=G(x_0)=H(x_0)\not= 0.$

Answer 1

Необходимость: Дано уравнение $\sqrt[3]{F(x)} + \sqrt[3]{G(x)} + \sqrt[3]{H(x)} = 0$. Дан $x_0$ - корень уравнения $F(x) + G(x) + H(x) = 3\sqrt[3]{F(x)G(x)H(x)}$ и $\sqrt[3]{F(x_0)} + \sqrt[3]{G(x_0)} + \sqrt[3]{H(x_0)} \neq 0$.

Доказать что $F(x_0) = G(x_0) = H(x_0) \neq 0$.

Предположим что $F(x_0) = G(x_0) = H(x_0) = 0$.

Тогда, $\sqrt[3]{F(x_0)} + \sqrt[3]{G(x_0)} + \sqrt[3]{H(x_0)} = 0$. Противоречие.

Предположим, что равенство не выполняется. Тогда $F(x) + G(x) + H(x) \neq 3F(x_0) \text{ or } 3G(x_0) \text{ or } 3H(x_0)$ и $3\sqrt[3]{F(x_0)G(x_0)H(x_0)} \neq 3F(x_0) \text{ or } 3G(x_0) \text{ or } 3H(x_0)$.

Следовательно, не будет выполнятся $F(x_0) + G(x_0) + H(x_0) \neq 3\sqrt[3]{F(x_0)G(x_0)H(x_0)}$. Но $x_0$ корень данного уравнения. Противоречие.

Достаточность: $F(x_0) = G(x_0) = H(x_0) \neq 0$.

Тогда

$\sqrt[3]{F(x_0)} + \sqrt[3]{G(x_0)} + \sqrt[3]{H(x_0)} = 3\sqrt[3]{F(x_0)} \neq 0$

Answer 2

Предположим обратное: x₀ является корнем уравнения. Тогда F(x₀) = G(x₀) = H(x₀) = N, N ≠ 0. Тогда получаем, что в исходном уравнении $\sqrt[3]{N}+\sqrt[3]{N}+\sqrt[3]{N}=3\sqrt[3]{N}=0$. Раз N ≠ 0, то и $\sqrt[3]{N} \neq 0$. Получается, что ни один из множителей не равен нулю, но произведение в итоге стало нулём. Получили противоречие, значит, такого быть не может - x₀ не является корнем уравнения.