Question

Решить интегралы ( определенные и неопределенные)

Answer 1

$1)\; \; \int \frac{x^2}{x-1}\, dx=\int \frac{x^2-1+1}{x-1}\, dx=\int \frac{(x-1)(x+1)+1}{x-1}\, dz=\int (x+1+\frac{1}{x-1})dx=\\\\=\frac{x^2}{2}+x+ln|x-1|+C\; ;\\\\2)\; \; \int x\, e^{x}\, dx=[\, u=x\; ,du=dx,\; dv=e^{x}dx,\; ,v=e^{x}\, ]=uv-\int v\, du=\\\\=x\, e^{x}-\int e^{x}dx=x\, e^{x}-e^{x}+C=e^{x}(x-1)+C\; ;\\\\3)\; \; \int \frac{3x^2}{\sqrt{3x^3-1}}dx=[\, t=3x^3-1,\; dt=9x^2\, dx\, ]=\frac{1}{3}\int \frac{9x^2\, dx}{\sqrt{3x^3-1}}=\\\\=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{t}+C=\frac{2}{3}\cdot \sqrt{3x^3-1}+C\; ;$

$4)\; \; \int\limits^{\sqrt7}_{\sqrt3}\, \frac{x^3\, dx}{\sqrt[3]{4x^4-6}}=[\, t=4x^4-6,\; dt=16x^3\, dx,\; t_1=4\cdot 9-6=30,\; t_2=190\, ]=\\\\=\frac{1}{16}\int\limits_{30}^{190}\, \frac{dt}{\sqrt[3]{t}}\, dx=\frac{1}{16}\cdot \frac{t^{2/3}}{2/3}\Big |_{30}^{190}=\frac{1}{16}\cdot \frac{3}{2}\cdot (\sqrt[3]{190^2}-\sqrt[3]{30^2})\; ;\\\\5)\; \; \int\limits^2_1\frac{6\, lnx}{x^2}\, dx=[\, u=lnx,\; du=\frac{dx}{x},\, dv=\frac{dx}{x^2},\; v=-\frac{1}{x}\, ]=$

$=uv\Big |_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\, du=6\cdot \Big (-\frac{1}{x}\cdot lnx\Big |_1^2+\int\limits^2_1\frac{1}{x^2}\, dx\Big )=6\cdot \Big (-\frac{1}{2}\cdot ln2+1\cdot ln1-\frac{1}{x}\Big |_1^2\Big )=\\\\=6\cdot \Big (-\frac{ln2}{2}-\frac{1}{2}+1\Big )=6\cdot (-\frac{ln2}{2}+\frac{1}{2})=6\cdot \frac{1-ln2}{2}=3\cdot (1-ln2)\; .$