Question

Решите систему !!! 25 баллов!

Answer 1

Рассмотрим первое уравнение системы. Загвоздка тут вот в чём. Икс, вообще говоря, может быть числом любого знака, из системы не следует что он может быть только положительным или только отрицательным.

Если мы делаем вот так $-\frac{1}{2} \log_2x^2=-\log_2x$, то кто поручится, что под логарифмом теперь не стоит отрицательное число? Чтобы избежать этого риска, нужно запихать x в модуль:

$-\frac{1}{2} \log_2x^2=-\log_2|x|$

Тогда

$\log_2(xy)-\log_2|x|=1\\\log_2\frac{xy}{|x|} =\log_22\\\frac{xy}{|x|} =2$

Если x≥0, то модуль просто отбрасывается и получаем y=2. Подставим его во второе уравнение:

$\log_{x^2}4+\log_28=4\\\log_{x^2}4=1\\x^2=4\\x=2$

Не забываем о том, что мы рассматриваем случай когда x≥0, если бы написали бы, что $x=\pm 2$, то это было бы ошибкой, x=-2 в данном случае лишний корень!

Теперь пусть x<0. Тогда модуль раскрывается с минусом и y=-2. Подставляем:

$\log_{x^2}4+\log_24=4\\\log_{x^2}4=2\\x^2=2\\x=-\sqrt{2}$

Здесь наоборот указываем только отрицательный x.

Таким образом ответ:

(2; 2), (-√2; -2)