Question

помогите умоляю!!!!!!!!!! (tg x)^(sin x)=(ctg x)^(cos x), ^ - это степень

Answer 1

$(\mathrm{tg}x)^{\sin x}=(\mathrm{ctg} x)^{\cos x}$

ОДЗ: $\left\{\begin{array}{l} \sin x\neq 0\\\cos x\neq 0 \end{array}$

Преобразуем котангенс:

$(\mathrm{tg}x)^{\sin x}=((\mathrm{tg} x)^{-1})^{\cos x}$

Воспользуемся свойством степени:

$(\mathrm{tg}x)^{\sin x}=(\mathrm{tg} x)^{-\cos x}$

Возможны две ситуации.

1. Степени с равными основаниями равны, когда равны их показатели:

$\sin x=-\cos x$

Разделим на косинус, не равный нулю:

$\mathrm{tg} x=-1\\\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{4} +\pi n, n\in Z$

Однако, при таких корнях основание степени tgx, как видно, равно -1. Но степень с отрицательным основанием не имеет смысла для дробного и тем более иррационального показателя. Значит, получившиеся корни - посторонние.

2. Основание степени равно 1, тогда любые степени этого числа будут равны:

$\mathrm{tg} x=1\\\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4} +\pi n, n\in Z$

Данные решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x=\dfrac{\pi}{4} +\pi n, n\in Z$