Question

Вероятность того, что школьник получит двойку за
контрольный диктант, равна 0,03. Найти вероятность того, что из 12
школьников двойку получат: а) ровно 7 школьников; б) более пяти
школьников; в) наивероятнейшее число школьников.

Answer 1

Вероятность того, что школьник не получит двойку за контрольный диктант, равна q = 1 - p = 1 - 0.03 = 0.97

a) Вероятность того, что из 12 школьников двойку получат ровно 7 школьников, равна (по формуле Бернулли)

$P_{12}(7)=C^7_{12}p^7q^{12-7}=\dfrac{12!}{5!7!}\cdot0.03^7\cdot0.97^5\approx0.0000000143$

б) Вероятность того, что из 12 школьников двойку получат более пяти школьников, равна

$P_{12}(k>5)=1-P_{12}(k\leq5)=1-P_{12}(5)-P_{12}(4)-P_{12}(3)-P_{12}(2)-\\ \\ -P_{12}(1)-P_{12}(0)=1-C^5_{12}p^5q^7-C^4_{12}p^4q^8-C^3_{12}p^3q^9-C^2_{12}p^2q^{10}-\\ \\ -C^1_{12}pq^{11}-q^{12}=0.00524$

в)  Вероятность того, что из 12 школьников двойку получат наивероятнейшее число школьников:

Число $k_0$ - наивероятнейшее, определяется из следующего двойного неравенства

$np-q \leq k_0\leq np+p\\ 12\cdot0.03-0.97\leq k_0\leq 12\cdot0.03+0.03\\ -0.61\leq k_0\leq0.39$

Наивероятнейшее будет при $k_0=0$

Вероятность равна $P_{12}(0)=q^{12}=0.97^{12}\approx0.694$