Question

Доведите что:
1)n^3+11n кратно 6
2)(n^2-1)(n^2-2n) кратно 24
Если n-целое число

Answer 1

$n^3+11n=n^3-n+12n=n(n-1)(n+1)+12n$. Первое слагаемое делится на 6, так как оно является произведением трех последовательных чисел (хотя бы одно из них является четным, ровно одно из них делится на 3). Второе слагаемое делится на 6, так как 12 делится на 6. Поэтому и сумма делится на 6.

$(n^2-1)(n^2-2n)=(n-1)(n+1)n(n-2)=(n-2)(n-1)n(n+1)$. Получили произведение четырех последовательных целых чисел. Ровно два из них четные, причем ровно одно из этих двух делится на 4. Поэтому произведение делится на 8. Хотя бы одно из четырех последовательных целых чисел делится на 3. Значит, произведение делится на $8\cdot 3=24$.