Question

Докажите, что при любых a и b выполняется неравенство a^4-2a^3b+2a^2b^2-2ab^3+b^4>=0

Answer 1

a⁴ - 2a³b + 2a²b² - 2ab³ + b⁴ =

a⁴ - 4a³b + 2a³b + 6a²b² - 4a²b² - 4ab³ + 2ab³ + b⁴ =

a⁴ - 4a³b + 6a²b² - 4ab³ + b⁴ + 2a³b - 4a²b² + 2ab³  =

(a - b)⁴ + 2ab(a² - 2ab + b²) =

(a - b)⁴ + 2ab(a - b)² =

(a - b)²((a - b)² + 2ab) =

(a - b)²(a² + b²) >= 0 ∀a,b