Question

решите какие сможете, если не трудно распишите решения (чтобы вникнуть)

Answer 1

Я так понял что под подстановкой имеется ввиду замену переменной.

Дано:

$displaystyle intlimits {cos(6x+1)} , dx$

Мы знаем что :

$displaystyle intlimits {cos x } , dx =sin x +C$

Заменим переменную:

$t=6x+1$

Теперь наша задача избавиться от dx, выразив его через dt:

$dt=d(6x+1)=(6x+1)'dx=6dx$

Теперь по правилам пропорции, получаем:

$displaystyle dx= frac{dt}{6}$

В итоге получаем:

$displaystyle intlimits {cos t} , frac{dt}{6}= frac{1}{6} intlimits {cos t} , dt= frac{1}{6}sin t+C$

Вспоминая чему равно t получаем:

$displaystyleintlimits {cos (6x+1)} , dx =frac{1}{6}sin (6x+1)+C$

2.
Дано:

$displaystyle intlimits { frac{ sqrt{tan x} dx}{cos^2x} } ,$

Замена:

$t=tan x$

$displaystyle dt=d(tan x)=(tan x)'dx= frac{dx}{cos^2x}$

Решаем интеграл:

$displaystyle intlimits {t^{1/2}} , dt= frac{t^{ frac{1}{2}+1 }}{ frac{1}{2}+1} +C= frac{ sqrt[2]{t^3} }{ frac{3}{2} } +C= frac{2 sqrt[2]{t^3} }{3} +C$

Вспоминая чему равно t, получаем:

$displaystyle intlimits { frac{ sqrt{tan x} dx}{cos^2x} } , =frac{2 sqrt[2]{tan^3 x} }{3} +C$

3.
Дано:

$displaystyle intlimits { frac{x^5}{ sqrt{x^6+7} } } , dx$

Замена:

$t= sqrt{x^6+7}$

$dt=d( sqrt{x^6+7})'= frac{3x^5dx}{ sqrt{x^6+7} }$

$x^5dx= frac{sqrt{x^6+7}dt}{3}$

Решаем интеграл:

$displaystyle intlimits { frac{t/3}{t} } , dt= intlimits { frac{t}{3t} } , dt = intlimits { frac{1}{3} } , dt = frac{t}{3}+C$

Вспоминая что такое t, получаем:

$displaystyle intlimits { frac{x^5}{ sqrt{x^6+7} } } , dx = frac {sqrt{x^6+7} }{3} +C$