Question

Доказать, что
$\lim_{x \to +\infty}\frac{log_{a}x}{x^E}$=0
$a\ \textgreater \ 1,E\ \textgreater \ 0$

Answer 1

Для начала рассмотрим предел: $\displaystyle \sf \lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{a^n}$, когда a>1

Пусть есть $\sf m\in \mathbb{Z}$ и $\sf m\geqslant k$. Тогда

$\sf \displaystyle 0<\frac{n^k}{a^n}<\frac{n^m}{a^n}=\left(\frac{n}{\sqrt[\sf m]{\sf a^n}}\right)^n=\left(\frac{n}{b^n}\right)^m$

Где b замена на $\sf \sqrt[\sf m]{\sf a}>1$. Но, представив b = 1 + b-1 и разложив по формуле Бинома:

$\sf 0<\dfrac{n}{b^n}=\dfrac{n}{(1+b-1)^n}=\dfrac{n}{1+n(b-1)+\frac{n(n-1)}{2}(b-1)^2+...+(b-k)^k}<\\ \\ \\ <\dfrac{2n}{n(n-1)(b-1)^2}\to 0,~~n\to \infty$

Значит, по теореме о предельном переходе в произведении, получим что предел $\sf \displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{b^n}\right)^m=0$. Тогда

$\sf \dfrac{1}{b^n}<\dfrac{n}{b^n}<1$ при большом n. Введём замену $\tt b=a^{\varepsilon}$, где a>1 и $\varepsilon$ - положительное и произвольное. Тогда

$\sf \dfrac{1}{a^{\varepsilon n}}<\dfrac{n}{a^{\varepsilon n}}<1~~~\Rightarrow~~~ 1<n<a^{\varepsilon n}$

Прологарифмировав, получим:

$\sf \displaystyle 0<\log_an<\varepsilon n~~~\Rightarrow~~~~ \boxed{\sf 0<\frac{\log_an}{n}<\varepsilon}$ при большом n. Следовательно,

$\sf \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\log_an}{n}=0,~~ a>1$

**********************************************************************************

Теперь осталось доказать, что $\sf \displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\log_ax}{x^{\varepsilon}}=0$, когда a>1 и $\varepsilon >0$

Пусть $\sf \displaystyle x^{\varepsilon}=t$, тогда $\sf \displaystyle \lim_{t \to \infty}\frac{\log_at}{\varepsilon t}$

Ранее мы показали, что $\displaystyle \sf \lim_{n \to \infty}\frac{\log_an}{n}=0$, значит $\sf \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\log_a(n+1)}{n}=0$

Пусть $\sf \varepsilon'$ - положительное и произвольное. Тогда

$\displaystyle \sf\exists N\in\mathbb{N},~n>N~|~~0<\frac{\log_a(n+1)}{n}<\varepsilon'$

И возьмем $\sf n=[t]$ для $\sf t>N+1$. Тогда

$\sf \displaystyle 0<\frac{\log_at}{t}<\frac{\log_a(t+1)}{n}<\varepsilon'~~~\Rightarrow \lim_{t \to \infty}\frac{\log_at}{t}=0$

а значит и $\displaystyle \sf \lim_{x \to \infty}\frac{\log_ax}{x^{\varepsilon}}=0$