Question

Выполнить потенцирование выражений:

1) log x = log 3 + log 5 - log 2
2) log x = 3log 5 + 2log 3
3) log x = 2log 13 - 2/5log 2 - 1/3log 7
4) log x = log (a+b) - 2/3(2log a + 3/4log b)
5) log x = 2log(a-b)+3/4(log a - 2/3log b)

Answer 1

Ответ:

Используем свойства логарифмов:

$\tt \displaystyle 1) \;log_{a}B +log_{a}C=log_{a}B \cdot C$

$\tt \displaystyle 2) \;log_{a}B -log_{a}C=log_{a}\frac{B}{C}$

$\tt \displaystyle 3) \; K \cdot log_{a}B =log_{a}B^K$.

В задаче основания логарифмов не дано, поэтому будем считать одинаковыми!

$\tt \displaystyle 1) \; log x=log 3 + log5 -log2 \\\\log x=log \frac{3 \cdot 5}{2}\\\\ x=\frac{15}{2}=7,5.$

$\tt \displaystyle 2) \; log x=3 \cdot log 5 +2 \cdot log3\\\\log x=log 5^3 +log3^2\\\\log x=log (125 \cdot 9)\\\\x=1125.$

$\tt \displaystyle 3) \; log x=2 \cdot log 13 -\frac{2}{5} \cdot log2-\frac{1}{3} \cdot log7\\\\log x=log 13^2 -(log2^{2/5}+log7^{1/3})\\\\log x=log 169 -log(4^{1/5} \cdot 7^{1/3})\\\\log x=log \frac{169}{4^{1/5} \cdot 7^{1/3}} \\\\x=\frac{169}{\sqrt[5]{4} \cdot \sqrt[3]{7} } .$

$\tt \displaystyle 4) \; log x=log (a+b) -\frac{2}{3} \cdot(2 \cdot loga+\frac{3}{4} \cdot logb)\\\\log x=log (a+b) -(\frac{4}{3} \cdot loga+\frac{1}{2} \cdot logb)\\\\log x=log (a+b) -(loga^{4/3}+logb^{1/2})\\\\log x=log (a+b) -log(a^{4/3} \cdot b^{1/2})\\\\log x=log \frac{a+b}{a^{4/3} \cdot b^{1/2}}\\\\x=\frac{a+b}{\sqrt[3]{a^4} \cdot \sqrt{b} }.$

$\tt \displaystyle 5) \; log x=2 \cdot log (a-b) +\frac{3}{4} \cdot(loga-\frac{2}{3} \cdot logb)\\\\log x=log (a-b)^2 +(\frac{3}{4} \cdot loga-\frac{1}{2} \cdot logb)\\\\log x=log (a-b)^2 +(loga^{3/4}-logb^{1/2})\\\\log x=log (a-b)^2 +log\frac{a^{3/4}}{b^{1/2}}\\\\log x=log\frac{(a-b)^2 \cdot a^{3/4}}{b^{1/2}}\\\\x=\frac{(a-b)^2 \cdot \sqrt[4]{a^3} }{\sqrt{b} } .$