Question

Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Answer 1

$\int x\cdot cos2x\, dx=\Big [\, u=x,\; du=dx,\; dv=cos2x\, dx,\; v=\frac{1}{2}sin2x\, \Big ]=\\\\=uv-\int v\, du=\frac{x}{2}\cdot sin2x-\frac{1}{2}\, \int sin2x\, dx=\\\\=\frac{x}{2}\cdot sin2x+\frac{1}{4}\cdot cos2x+C$

$Proverka:\\\\\Big (\frac{x}{2}\cdot sin2x+\frac{1}{4}\cdot cos2x+C\Big )'=\frac{1}{2}\cdot sin2x+\frac{x}{2}\cdot 2\, cos2x-\frac{1}{4}\cdot 2\, sin2x=\\\\=x\cdot cos2x$