Question

Найти область сходимости степенного ряда (задание на фото):

Answer 1

Радиус сходимости $\sf \displaystyle R=\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{a_{n+1}}=\lim_{n \to \infty}\dfrac{n^2}{n+1}\cdot\frac{n+2}{(n+1)^2}=1$

ряд сходится при всех х ∈ (-1;1).

Исследуем сходимость ряда на концах интервала (-1;1).

Если x=-1, то

$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^n\cdot n^2}{n+1}$ - расходится по признаку Лейбница.

Если x=1, то $\displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}\frac{n^2}{n+1}$ -расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда.

Ответ: ряд сходится абсолютно при x ∈ (-1;1).