Question

Найти всю сумму целых значений параметра a, при которых оба корня квадратного уравнения x^2-ax+2=0 действительны и находятся между 0 и 3(исключая крайние значения)

Answer 1

$x^2 - ax + 2 = 0\\\Delta = a^2 - 8 \geq 0\\-2\sqrt{2} \geq a \geq 2\sqrt{2}$

$\frac{a \pm \sqrt{a^2 - 8}}{2} \in (0, 3)\\a \pm \sqrt{a^2 - 8} \in (0, 6)\\\left \{ {{0 < a - \sqrt{a^2 - 8} < 6} \atop {0 < a + \sqrt{a^2 - 8} < 6}} \right. \\\left \{ {{}\left \{ {{a - \sqrt{a^2 - 8} > 0} \atop {a - \sqrt{a^2 - 8} < 6}} \right.  \atop {\left \{ {{a + \sqrt{a^2 - 8} > 0} \atop {a + \sqrt{a^2 - 8} < 6}} \right.}} \right. \\1) a - \sqrt{a^2 - 8} > 0, (a > 0)\\a > \sqrt{a^2 - 8}\\a^2 > a^2 -8\\0 > -8 \rightarrow a \geq 2\sqrt{2}$

$2) a - \sqrt{a^2 - 8} < 6\\a - 6 < \sqrt{a^2 - 8}\\2.1) a \geq 6\\a^2 - 12a + 36 < a^2 - 8\\a > \frac{11}{3}\\a \geq 6\\2.2) a < 6\\ a \in (-\infty; -2\sqrt{2}] \cup (2\sqrt{2}; 6)$

В случае 2.2 неравенство всегда верно, ведь значение слева отрицательно, в отличие от корня

$3) a + \sqrt{a^2 - 8} > 0, (a < 0)\\\sqrt{a^2 - 8} > -a\\a^2 - 8 > a^2\\-8 > 0 (!)$

при положительных значениях a неравенство, очевидно, верно.

$4) a + \sqrt{a^2 - 8} < 6, (a > 0)\\\sqrt{a^2 - 8} < 6 - a\\a^2 - 8 < a^2 - 12a + 36\\a < \frac{44}{12}\\a < \frac{11}{3}$

Исходя из случая 3, мы можем решать только при a > 0, ведь a < 0 неравенство верно.

Пересечением всех отрезков является $a \in [2\sqrt{2}; \frac{11}{3})$

Единственное целочисленное решение в данной области: $3$