Question

параллелограмме abcd точки m и n лежат на сторонах bc и cd причем bm:mc=3:1.CN:ND=1:2, векторы ab=a. AD=b.
1)Выразить векторы BN и MN через векторы a и b
2)докажите ,что MN и 1/2 AD-2/3AB коллинеарны

Answer 1

Несколько фактов, которые стоит понимать при решении:

• Противоположны стороны параллелограмма равны и параллельны, поэтому $\vec{AB} =\vec{DC}$и $\vec{AD}=\vec{BC}$ , ну ещё конечно важно, что они направлены в одну сторону.
• $\vec{XY} =-\vec{YX}$
• Правило треугольника: $\vec{XY}+\vec{YZ}=\vec{XZ}$

1)

$\vec{BC}+\vec{CN} =\vec{BN};\\\\\vec{b}+\dfrac13 \vec{CD}=\vec{BN};\\\\\vec{BN}=\vec{b} -\dfrac13 \vec{a}.$

_________________

$\vec{MC}+\vec{CN} =\vec{MN};\\\\\dfrac14 \vec{BC}+\dfrac13 \vec{CD} =\vec{MN};\\\\\vec{MN}=\dfrac14 \vec{b} -\dfrac13 \vec{a}$

2)

$\dfrac12 \vec{AD} -\dfrac23 \vec{AB} =\dfrac24 \vec{b}-\dfrac23 \vec{a}$

Коллинеарные векторы можно выразить друг через друга умножив один на коэффициент.

$\vec{MN} =\dfrac14 \vec{b}-\dfrac13 \vec{a} ;\\\\2\cdot \vec{MN}=\dfrac24 \vec{b}-\dfrac23 \vec{a};\\\\2\vec{MN} =\dfrac12 \vec{AD}-\dfrac23 \vec{AB} .$

Таким образом векторы действительно коллинеарны.