Question

Помогите пожалуйста 
Докажите неравенства


  m^2+37n^2+12mn-8n+20 больше 0
  49b^2-14bc+2c^2+16c+69 больше 0

Answer 1

Ответ:

1) Доказать неравенство:

$\displaystyle 49b^{2} -14bc+2c^{2} +16c+69>0$

Доказательство:

$\displaystyle 49b^{2} -14bc+2c^{2} +16c+69 =\\\\= (49b^{2} -14bc+c^{2}) +(c^{2}+16c+64)+5=\\\\=(7b -c)^{2} +(c+8)^{2} +5$

Квадрат выражения есть величина неотрицательная

$\displaystyle (7b -c)^{2} \geq 0; \;\;\;\ (c+8)^{2}\geq 0$

Тогда

$\displaystyle 49b^{2} -14bc+2c^{2} +16c+69=(7b -c)^{2} +(c+8)^{2} +5 \geq 5$

т.е. является положительным. Доказано.

2) Доказать неравенство:

$\displaystyle m^{2} +37n^{2} +12mn-8n+20>0$

Доказательство:

$\displaystyle m^{2} +37n^{2} +12mn-8n+20=\\\\ (m^{2}+12mn+36n^{2})+(n^{2}-8n+16)+4 =\\\\(m +6n)^{2} +(n-4)^{2} +4$

Квадрат выражения есть величина неотрицательная

$\displaystyle (m +6n)^{2} \geq 0; \;\;\;\;(n-4)^{2} \geq 0$

Тогда

$\displaystyle m^{2} +37n^{2} +12mn-8n+20=(m +6n)^{2} +(n-4)^{2} +4 \geq 4$

т.е. является положительным. Доказано.