Question

Решите дифференциальное уравнение :
y" + 6y' + 9y = (48x + 8)e^x

Answer 1

$y''+6y'+9y=(48x+8)e^x$

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего данному неоднородному, и частного решения неоднородного дифференциального уравнения.

$y_{OH}=Y_{OO}+\overline{y}_{CH}$

Решим однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному:

$y''+6y'+9y=0$

Составим и решим характеристическое уравнение:

$\lambda^2+6\lambda+9=0\\(\lambda+3)^2=0\\\lambda_1=\lambda_2=-3$

Запишем общее решение однородного уравнения:

$Y=C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x}$

Частное решение будем искать в виде:

$\overline{y}=(Ax+B)e^x$

Найдем первую и вторую производную:

$\overline{y}'=(Ax+B)'e^x+(Ax+B)(e^x)'=Ae^x+(Ax+B)e^x\\\overline{y}''=(Ae^x)'+(Ax+B)'e^x+(Ax+B)(e^x)'=Ae^x+Ae^x+(Ax+B)e^x=\\=2Ae^x+(Ax+B)e^x$

Подставим значения функции и первых двух производных в исходное уравнение:

$2Ae^x+(Ax+B)e^x+6(Ae^x+(Ax+B)e^x)+9((Ax+B)e^x)=(48x+8)e^x$

Сократим на $e^x$:

$2A+(Ax+B)+6(A+(Ax+B))+9(Ax+B)=48x+8\\2A+Ax+B+6(A+Ax+B)+9(Ax+B)=48x+8\\2A+Ax+B+6A+6Ax+6B+9Ax+9B=48x+8\\16Ax+8A+16B=48x+8$

Так как левая и правая часть равны, то коэффициенты при х и свободные члены также равны. Получаем систему:

$\left\{\begin{array}{l} 16A=48 \\ 8A+16B=8 \end{array}$

$\left\{\begin{array}{l} A=3 \\ A+2B=1 \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} A=3 \\ 3+2B=1 \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} A=3 \\ 2B=-2 \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} A=3 \\ B=-1 \end{array}$

Тогда частное решение имеет вид:

$\overline{y}=(3x-1)e^x$

Общее решение заданного уравнения:

$y=Y+\overline{y}=C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x}+(3x-1)e^x$

Ответ: $y=C_1e^{-3x}+C_2xe^{-3x}+(3x-1)e^x$