Question

80 баллов для умника

Answer 1

$1) \sqrt{a\sqrt[3]{a}}*\sqrt[3]{a\sqrt{a}}=\sqrt{\sqrt[3]{a^3a}}*\sqrt[3]{\sqrt{a^2a}}=\sqrt[2*3]{a^{3+1}}*\sqrt[3*2]{a^{2+1}}=\sqrt[6]{a^4}*\sqrt[6]{a^3}=\sqrt[6]{a^4a^3}=\sqrt[6]{a^{4+3}}=\sqrt[6]{a^7}=\sqrt[6]{a^6a}=\sqrt[6]{a^6}\sqrt[6]{a}=a\sqrt[6]{a}$

$2) \sqrt[4]{b\sqrt[3]{b^2}}*\sqrt[3]{b^2\sqrt[4]{b}}=\sqrt[4]{\sqrt[3]{b^3b^2}}*\sqrt[3]{\sqrt[4]{(b^2)^4b}}=\sqrt[4*3]{b^{3+2}}*\sqrt[3*4]{b^{2*4+1}}=\sqrt[12]{b^5}*\sqrt[12]{b^9}=\sqrt[12]{b^5*b^9}=\sqrt[12]{b^{5+9}}\sqrt[12]{b^{14}}=\sqrt[12]{b^{12}*b^2}=\sqrt[12]{b^{12}}*\sqrt[12]{b^2}=b\sqrt[12*\frac{1}{2}]{b^{2*\frac{1}{2}}}=b\sqrt[6]{b}$

$3)\sqrt[4]{\frac{a}{b}\sqrt{\frac{a}{b}}}*\sqrt{\frac{a}{b}\sqrt[4]{\frac{a}{b}}}=\sqrt[4]{\sqrt{(\frac{a}{b})^2*\frac{a}{b}}}*\sqrt{\sqrt[4]{(\frac{a}{b} )^4*\frac{a}{b}}}=\sqrt[4*2]{(\frac{a}{b})^{2+1}}*\sqrt[2*4]{(\frac{a}{b})^{4+1}}=\sqrt[8]{(\frac{a}{b})^3}*\sqrt[8]{(\frac{a}{b})^5}=\sqrt[8]{(\frac{a}{b})^3*(\frac{a}{b})^5}=\sqrt[8]{(\frac{a}{b})^{3+5}}=\sqrt[8]{(\frac{a}{b})^8}=\frac{a}{b}$

$4) \sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}}*\sqrt[4]{a^2\sqrt[3]{a\sqrt{a}}}=\sqrt[3]{a\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^3a}}}*\sqrt[4]{a^2\sqrt[3]{\sqrt{a^2a}}}=\sqrt[3]{a\sqrt[3*3]{a^{3+1}}}*\sqrt[4]{a^2\sqrt[3*2]{a^{2+1}}}=\sqrt[3]{a\sqrt[9]{a^4}}*\sqrt[4]{a^2\sqrt[6]{a^3}}=\sqrt[3]{\sqrt[9]{a^9a^4}}*\sqrt[4]{\sqrt[6]{(a^2)^6*a^3}}=\sqrt[3]{\sqrt[9]{a^9a^4}}*\sqrt[4]{\sqrt[6]{(a^{12}*a^3}}=\sqrt[3*9]{a^{9+4}}*\sqrt[4*6]{a^{12+3}}=\sqrt[27]{a^{13}}*\sqrt[24]{a^{15}}=a^{\frac{13}{27}}a^{\frac{15}{24}}=$$=a^{\frac{13}{27}}*a^{\frac{15:3}{24:3}}=a^{\frac{13}{27}}*a^{\frac{5}{8}}=a^{\frac{13}{27}+\frac{5}{8}}=a^{\frac{104+135}{216}}=a^{\frac{239}{216}}=a^{1\frac{23}{216}}=a\sqrt[216]{a^{23}}$