Question

tgx+ctgx=8sin2x
Sinx+Cosx=1+2SinxCosx
решить, пожалуйста, с подробным решением

Answer 1

$tgx+ctgx=8sin2x\\ \frac{sinx}{cosx}+\frac{cosx}{sinx}=16sinxcosx \\ \frac{sin^2x}{sinxcosx}+\frac{cos^2x}{sinxcosx}=16sinxcosx \\ \frac{sin^2x+cos^2x}{sinxcosx}=16sinxcosx \\\frac{1}{sinxcosx}=16sinxcosx \\ 16sin^2xcos^2x=1\\ (4sinxcosx)^2=1\\ (2sin2x)^2=1\\2sin2x=+-1\\sin2x=+-\frac{1}{2} \\2x=+-\frac{\pi }{6}+\pi n \\x=+-\frac{\pi }{12}+\frac{1}{2} \pi n$ , n∈Z

sinx+cosx=1+2sinxcosx

sinx+cosx=sin²x+cos²x+2sinxcosx

sinx+cosx=(sinx+cosx)²

возможно только два решения sinx+cosx=0 или sinx+cosx=1

1) sinx+cosx=0

sinx=-cosx

x=3π/4 + πn

2) sinx+cosx=1

x₁=π/2+2πn, x₂=2πn

Ответ: 3π/4 + πn, π/2+2πn, 2πn, где n∈Z