Question

Выполните действия над комплексными числами и результат запишите в экспоненциальной форме.

Answer 1

Рассмотрим комплексное число:

$z=-2-2i$

Найдем его модуль и аргумент:

$|z|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

$\arg z=\mathrm{arctg}\dfrac{-2}{-2}-\pi=\mathrm{arctg}1-\pi=\dfrac{\pi }{4}-\pi=-\dfrac{3\pi }{4}$

Запишем число в тригонометрической форме:

$z=2\sqrt{2} \left(\cos\left(-\dfrac{3\pi }{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{3\pi }{4}\right)\right)$

Для возведения в степень воспользуемся формулой Муавра:

$(\rho\left(\cos\phi+i\sin\phi\right))^n=\rho^n\left(\cos n\phi+i\sin n\phi\right)$

$z^{40}=(2\sqrt{2})^{40} \left(\cos\left(-\dfrac{3\pi }{4}\cdot40\right)+i\sin\left(-\dfrac{3\pi}{4}\cdot40\right)\right)=\\=2^{40}\cdot(\sqrt{2})^{40} \left(\cos\left(-3\pi\cdot10\right)+i\sin\left(-3\pi\cdot10\right)\right=\\=2^{40}\cdot2^{20} \left(\cos\left(-30\pi\right)+i\sin\left(-30\pi\right)\right=2^{60}\left(\cos0+i\sin0\right)$

Запишем результат в экспоненциальной форме:

$\rho\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)=\rho e^{i\phi}$

$z^{40}=2^{60}e^{0i}$