Question

Как найти предел ?(Вопрос не для всех)

Answer 1

Сразу скажем, что $\cos(0) = 1$.

$\lim\limits_{x\to0} \frac{\sqrt[5]{1 - 7x} - \sqrt[5]{1 - 3x}}{\sin(2x)}$

Тк $\lim\limits_{x\to0} \sin(2x) = \lim\limits_{x\to0} \frac{2x\sin(2x)}{2x} = (\lim\limits_{x\to0} 2x)(\lim\limits_{x\to0} \frac{\sin(2x)}{2x}) = \lim\limits_{x\to0} 2x$

$\lim\limits_{x\to0} \frac{\sqrt[5]{1 - 7x} - \sqrt[5]{1 - 3x}}{2x}$ $=$ $\lim\limits_{x\to0} \frac{-4x}{2x(\sqrt[5]{(1-7x)^4} + \sqrt[5]{(1-7x)^3(1 - 3x)} + \sqrt[5]{(1-7x)^2(1 - 3x)^2} + \sqrt[5]{(1-7x)(1 - 3x)^{3}} + \sqrt[5]{(1-3x)^{4}})}$

Сократим переменные и вычислим предел:

$\frac{-2}{\sqrt[5]{(1-0)^4} + \sqrt[5]{(1-0)^3(1 - 0)} + \sqrt[5]{(1-0)^2(1 - 0)^2} + \sqrt[5]{(1-0)(1 - 0)^{3}} + \sqrt[5]{(1-0)^{4}}} = -\frac{2}{5}$