Question

Нужно найти все системы счисления в которых 350 пишется тремя знаками

Answer 1

Максимальное трёхзначное число, которое может быть записано в системе счисления с основанием n — X(n) = (n-1)*n² + (n-1)*n + (n-1) = n³ - n² + n² - n + n - 1 = n³ -1. X(10) = 1000 - 1 = 999.

Минимальное трёхзначное число, которое может быть записано в системе счисления с основанием n — M(n) = n², очевидно. M(10) = 100.

Значит, нужно решить систему:

$\left \{ {{350 \leq n^3 - 1} \atop {350 \geq n^2}} \right.\\\\ ( n \in \mathbb{Z} ) \\ \\ \left \{ {{351 \leqn^3} \atop {350 \geq n^2}} \right.\\ \\ n \in [\sqrt[3]{351};\sqrt{350}] \\ \\ n \in [7.05...;18.7...]$

Значит, $n \in \{x \in \mathbb{Z} | (x \geq 8) \land (x \leq 18)\}$.

Проверяем:

$350_{10} = 536_{8} = 118_{18} \\ \\ 350_{10} = 1010_{7} = I8_{19}$