Question

Доказать, что если для $f(x)=a^x$
значения аргумента $x=x_{n}(n=1,2,...)$ образуют арифметическую прогрессию, то соответствующие значения функции $y_{n}=f(x_{n}) (n=1,2,...)$ образуют геометрическую.

Answer 1

По определению арифметической прогрессии:

$x_{n+1} = x_{n} + d$

Значит,

$f(x_{n+1}) = f(x_{n} + d) \\ a^{x_{n+1}} = a^{x_n + d} \\ a^{x_{n+1}} = a^{x_n} \times a^d$

Из определения геометрической прогрессии (каждый следующий член больше предыдущего в q раз) следует, что, значения функции образуют геом. прогрессию со знаменателем $a^d$.