Question

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0.0001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

$\int\limits^ 1_0 e^{(-2)x^6} \, dx$

Answer 1

$e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$

$e^{-2x^6}=1+(-2x^6)+\frac{(-2x^6)^2}{2!}+\frac{(-2x^6)^3}{3!}+\frac{(-2x^6)^4}{4!}+\frac{(-2x^6)^5}{5!}+\frac{(-2x^6)^6}{6!}+...$

Получили знакочередующийся ряд и это хорошо, так как легко оценить погрешность. Остаток значкочередующегося ряда по модулю не превосходит первого отброшенного слагаемого.

$\int\limits^1_0 {e^{-2x^6}dx=\int\limits^1_0(1+(-2x^6)+\frac{(-2x^6)^2}{2!}+\frac{(-2x^6)^3}{3!}+\frac{(-2x^6)^4}{4!}+\frac{(-2x^6)^5}{5!}+\frac{(-2x^6)^6}{6!}+...} \, )dx =$

$=(x-2\frac{x^7}{7}+2\frac{x^{13}}{13} -\frac{4x^{19}}{57}+\frac{2x^{25}}{75} -\frac{32x^{31}}{(5!\cdot 31}+\frac{64x^{37}}{(6! \cdot 37)}+ ...)|^1_{0}=1-\frac{2}{7}+ \frac{2}{13} - \frac{4}{57}+\frac{2}{75} - \frac{4}{465}+\frac{2}{1665}+...$≈

≈1-0,285714286+0,153846154-0,070174386+0,0266660+0,00860215054-0,0012012012=0,823423136

При этом погрешность не превышает по модулю следующего за 0,0012012012 числа, которое будет явно меньше 0.001

Чтобы вычислить с точностью 0,0001 надо взять еще несколько слагаемых.