Question

Помогите решить!
а) Решите уравнение (10 cos^2 + cosx - 2) / (√-sinx) = 0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку ( -π ; 3π/2)

Answer 1

$\tt \dfrac{10cos^2x+cosx-2}{\sqrt{-sinx}} =0$

ОДЗ:

-sinx>0 ⇒ sinx<0 ⇒ x ∈ III, IV координатным четвертям (не включая концы).

$\tt 10cos^2x+cosx-2=0\\ D=1+80=81=9^2\\ cosx_1=\dfrac{-1-9}{20}=-\dfrac{1}{2}\ \Rightarrow \ x=\pm\dfrac{2 \pi}{3}+2\pi k\\ cosx_2=\dfrac{-1+9}{20}=\dfrac{2}{5} \ \Rightarrow \ x =\pm arccos \dfrac{2}{5}+ 2 \pi k$

Теперь отбираем корни по ОДЗ (первая картинка). Остаются две серии корней.

$\tt x=\left[\begin{array}{I}\tt -\dfrac{2 \pi}{3}+2 \pi k \\ \tt -arccos\dfrac{2}{5}+2 \pi k \end{array}} ; \ k \in Z$

И напоследок отбор корней на промежутке (вторая картинка).

Ответ: а) $\tt x=\left[\begin{array}{I}\tt -\dfrac{2 \pi}{3}+2 \pi k \\\tt -arccos\dfrac{2}{5}+ 2 \pi k \end{array}}; \ k \in Z$, б) $\tt -\dfrac{2 \pi }{3}, \ \dfrac{4 \pi}{3}, \ -arccos\dfrac{2}{5}$