Question

Решите тригонометрическое уравнение:
2sin2x=3-2sin^2x

Answer 1

$2sin2x=3-2sin^2x\\ 4sinxcosx=3*1-2sin^2x\\ 4sinxcosx=3(sin^2x+cos^2x)-2sin^2x\\ 4sinxcosx=3sin^2x+3cos^2x-2sin^2x\\ 3cos^2x+sin^2x-4sinxcosx=0 \ (:cos^2x\neq 0)\\ 3+tg^2x-4tgx=0\\ tg^2x-4tgx+3=0\\ D=16-12=2^2\\ tgx_1=\frac{4+2}{2}=3\\ tgx_2=\frac{4-2}{2}=1\\ \\ x_1=arctg3+\pi k , k \in Z\\ x_2=\frac{\pi}{4}+\pi k , k \in Z$

Answer 2

2sin2x=3-2sin²x

2sin2x=3-(1-cos2x)
2sin2x-cos2x=2
c=√(2²+1²)=√5
√5(2/√5sin2x-1/√5*cos2x)=2
sina=2/√5;cosa=1/√5

cosa*cos2x-sina*sin2x=-2/√5
cos(2x+a)=-2/√5
2x+a=±(π-arccos2/√5)+2πk
2x=-a±(π-arccos2/√5)+2πk
x=-1/2(arccos1/√5)±1/2*
(π-arccоs2/√5)+πk