Question

Распишите, пожалуйста, как из первого пришли ко второму

Answer 1

По формулам приведения $\sin(2x+\arcsin\frac{4}{5})=\cos(\frac{\pi}{2} -(2x +\arcsin \frac{4}{5}))=\cos(\frac{\pi}{2} -2x -\arcsin \frac{4}{5})$

$\arcsin\frac{4}{5}=\arccos \sqrt{1-(\frac{4}{5})^2}= \arccos \sqrt{1-\frac{16}{25}}=\arccos \sqrt{\frac{9}{25}}=\arccos \frac{3}{5}$

Значит, $\cos(\frac{\pi}{2} -2x -\arcsin \frac{4}{5}) =\cos(\frac{\pi}{2} -2x -\arccos \frac{3}{5})$

$\frac{\pi}{2} -\arccos \frac{3}{5}=\arcsin \frac{3}{5}$, тогда

$\cos(\frac{\pi}{2} -2x -\arccos \frac{3}{5})=\cos( -2x +\arcsin \frac{3}{5})=\cos( -(2x -\arcsin \frac{3}{5}))=\\ \\ =\cos( 2x -\arcsin \frac{3}{5})=\cos( 2(x -\frac{1}{2}\arcsin \frac{3}{5}))=\\\\ =\cos( 2(x -\arcsin\frac{\sqrt{1+\frac{3}{5}}-\sqrt{1-\frac{3}{5}}}{2}))=\cos( 2(x -\arcsin\frac{\sqrt{\frac{8}{5}}-\sqrt{\frac{2}{5}}}{2})) =\\ \\ =\cos( 2(x -\arcsin\frac{2\sqrt{\frac{2}{5}}-\sqrt{\frac{2}{5}}}{2})) =\cos( 2(x -\arcsin\frac{\sqrt{\frac{2}{5}}}{2}))$

$=\cos( 2(x -\arcsin\frac{{\frac{\sqrt{10}}{5}}}{2})) =\cos( 2(x -\arcsin\frac{\sqrt{10}}{10}))$

дополнение: $\frac{1}{2} \arcsin x=\arcsin\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{2} , x\in[-1;1]$