Question

найдите наим и наиб значение функций y=x^3+3x^2-45x-3 на отрезке [-6;9]

Answer 1

$y=x^3+3x^2-45x-3$

Найдем производную функции:

$y \prime=(x^3+3x^2-45x-3) \prime=3x^{3-1}+3\cdot2x^{2-1}-45-0=3x^2+6x-45$

Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю:

$y \prime=0 \\ \\ 3x^2+6x-45=0\\ \\ x^2+2x-15=0\\ \\ x_1=-5 \in [-6;9]\\ \\ x_2=3 \in [-6;9]$

Найдем значения функции в стационарных точках и в концах заданного отрезка:

$y(-6)=(-6)^3+3\cdot(-6)^2-45\cdot(-6)-3=-216+108+270-3=159\\\\ y(-5)=(-5)^3+3\cdot(-5)^2-45\cdot(-5)-3=-125+75+225-3=172\\\\ y(3)=3^3+3\cdot3^2-45\cdot3-3=27+27-135-3=-84\\\\ y(9)=9^3+3\cdot9^2-45\cdot9-3 =729+243-405-3=564$

Значит, $y_{{min} {[-6;9]}}=y(3)=-84 \\ \\ y_{{max} [-6;9]}=y(9)=564$

Ответ: $y_{{min} {[-6;9]}}=-84 , y_{{max} [-6;9]}=564$