Question

Помогите решить уравнение с параметром :)

Answer 1

$\sqrt{37x^2-12ax+9} =2x^2-2ax+3\\ 37x^2-12ax+9=(2x^2-2ax+3)^2\\ 37x^2-12ax+9=4x^4+4a^2x^2+9-8ax^3+12x^2-12ax\\ 4x^4+4a^2x^2-8ax^3-25x^2=0\\ x^2(4x^2+4a^2-8ax-25)=0\\ x^2(4(x-a)^2-25)=0\\ x^2(2x-2a-5)(2x-2a+5)=0\\ x_1=0, \ \ \ x_2=\dfrac{2a+5}{2}, \ \ \ x_3=\dfrac{2a-5}{2}$

Так как по условию уравнение должно иметь три различных корня

$x_2\neq 0, \ \ \ x_3\neq 0, \ \ \ x_2\neq x_3 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ a\neq -2,5, \ \ \ a \neq 2,5$

Так как по ОДЗ 2x²-2ax+3≥0, нужно прорешать систему относительно a

$\left\{\begin{array}{I} 2(\dfrac{2a+5}{2})^2-2a(\dfrac{2a+5}{2})+3\geq 0 \\ 2(\dfrac{2a-5}{2})^2-2a(\dfrac{2a-5}{2})+3\geq 0 \end{array}}$

из которой получим

$a \in [-3,1; \ 3,1]$

и окончательный ответ

$a \in [-3,1; \ -2,5) \cup (-2,5; \ 2,5) \cup (2,5; \ 3,1]$

Ответ: a∈[-3,1; -2,5)U(-2,5; 2,5)U(2,5; 3,1]