Question

Сколько корней имеет уравнение 4sin(x/2)-cos(x)+1=0 на [0; 2п] ?

Answer 1

$4sin(\frac{x}{2}) + 1 - cos(x) = 4sin(\frac{x}{2}) + 2sin^{2}(\frac{x}{2}) = 2sin(\frac{x}{2})(2 + sin(\frac{x}{2})) = 0$

Вторая скобка больше 0

$sin(\frac{x}{2}) = 0$

$\frac{x}{2} = \pi n \\ x = 2 \pi n \\ n = 0; x = 0\\ n = 1; x = 2\pi$

Решений на данном интервале 2.

Answer 2

$4sin\frac{x}{2}-cosx+1=0\\\\\star \; \; cosx=cos^2\frac{x}{2}-sin^2\frac{x}{2}=(1-sin^2\frac{x}{2})-sin^2\frac{x}{2}=1-2sin^2\frac{x}{2}\\\\4sin\frac{x}{2}-(1-2sin^2 \frac{x}{2})+1=0\\\\2sin^2\frac{x}{2}+4sin\frac{x}{2}=0\\\\2\, sin\frac{x}{2}\cdot (sin\frac{x}{2}+2)=0\\\\a)\; \; sin\frac{x}{2}=0\; ,\; \; \frac{x}{2}=\pi k\; ,\; \; x=2\pi k\; ,\; k\in Z\\\\b)\; \; sin\frac{x}{2}+2=0\; ,\; \; sin\frac{x}{2}=-2\; \; net\; reshenij,\\\\tak\; kak\; |sin\frac{x}{2}|\leq 1\; ,\; a\; -2<-1.\\\\c)\; \; x\in [\, 0,2\pi \, ]:\; \; x_1=0\; ,\; x_2=2\pi \; .$

Ответ: два решения на указанном промежутке.