Question

Боковое ребро двадцатиугольной правильной пирамиды равно 9, а высота пирамиды - 6. Найдите радиус описанной около пирамиды сферы.

Answer 1

Рассмотрим шаровой сегмент, который образует пирамида.

h = 6.

r = $\sqrt{81 - h^{2}} = \sqrt{81 - 36} = \sqrt{45}$

По теореме Пифагора:

$R^{2} = r^{2} + (R - h)^{2}$

$R^{2} = r^{2} + R^{2} - 2Rh + h^2$

$R = \frac{r^{2} + h^{2}}{2h} = \frac{45 + 36}{12} = \frac{81}{12} = 6\frac{3}{4}$

Answer 2

1) Сложно представить двадцатиугольную правильную пирамиду, в основании которой правильный двадцатиугольник , но выглядит она примерно таким образом ( см. рисунок ):

точка О - центр сферы, которая лежит на высоте пирамиды

точка О1 - центр правильного двадцатиугольника

2) Рассмотрим ∆ SO1D:

По теореме Пифагора:

О1D² = 9² - 6² = 81 - 36 = 45

O1D = 3√5

AD = 2 × O1D = 2 × 3√5 = 6√5

3) Радиус описанной сферы равен радиусу окружности, описанной около треугольника SAD

S sad = 1/2 × SO1 × AD = 1/2 × 6 × 6√5 = 18√5

R = abc / 4S = ( 6√5 × 9 × 9 ) / ( 4 × 18√5 ) = 27 / 4 = 6_3/4 = 6, 75


ОТВЕТ: 6,75