Question

Допоможіть будь ласка! Завдання (8-10) на фото

Answer 1

8. $\sqrt{4x -3} + \sqrt{x + 1} = \sqrt{5x - 2}$

Область определения:

1) $4x - 3 \geq 0 => x \geq \frac{3}{4}$

2) $x + 1 \geq 0 => x \geq -1$

3) $5x - 2 \geq 0 => x \geq \frac{2}{5}$

Значит, $x \geq \frac{3}{4}$

Возведём в квадрат обе части уравнения и решим его:

$(\sqrt{4x - 3} + \sqrt{x + 1})^{2} = (5x - 2)^{2}$

$4x - 3 + 2\sqrt{(4x - 3)(x + 1)} + x + 1 = 5x - 2$

$5x - 2 + 2\sqrt{4x^{2} + x - 3} = 5x - 2$

$2\sqrt{4x^{2} + x - 3} = 0$

$\sqrt{4x^{2} + x - 3} = 0$

$4x^{2} + x - 3 = 0$

$a = 4, b = 1, c = -3$

$D = b^{2} - 4ac = 1^{2} -4*4*(-3) = 1 + 48 = 49$

$x_{1} =\frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2*4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{3}{4}$

$x_{2} =\frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2*4} = \frac{-1 - 7}{8} = -1$

Зная область определения, правильный ответ: $x = \frac{3}{4} = 0,75$

9. $\frac{tg(\alpha-\frac{3\pi}{2})cos(\alpha - \frac{\pi}{2})-sin^{3}(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}{cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)tg(\frac{\pi}{2}+\alpha)}$

Упростим выражение и получим:

$\frac{-ctg\alpha*sin\alpha-(-cos^{3}\alpha)}{sin\alpha*(-ctg\alpha)}$

$\frac{-\frac{cos\alpha}{sin\alpha}*sin\alpha + cos^{3}\alpha}{sin\alpha*(-\frac{cos\alpha}{sin\alpha})}$

$\frac{-cos\alpha+cos^{3}\alpha}{-cos\alpha}$

$\frac{cos\alpha(-1 + cos^{2}\alpha)}{-cos\alpha}$

$1 - cos^{2} \alpha$

$sin^{2} \alpha$

Ответ: sin²α

10. $sin2x + 5(sinx+cosx)+1 = 0$

Answer 2

$10) \: sin2x + 5(sinx + cosx) + 1 = 0$

$sin2x = {(sinx + cosx)}^{2} - 1$

Подставляем в формулу:

${(sinx + cosx)}^{2} - 1 + 5(sinx + cosx) + 1 = 0 \\ \\ {(sinx + cosx)}^{2} + 5(sinx + cosx) = 0$

Выносим общий множитель ( sinx + cosx ):

$(sinx + cosx)(sinx + cosx + 5) = 0$
Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю

$1) \: sinx + cosx = 0$
Разделим обе части уравнения на соsx ≠ 0 :

$tgx + 1 = 0 \\ \\ tgx = - 1 \\ \\ x = - \frac{\pi}{4} + \pi \: n$
n € Z

$2) \: sinx + cosx + 5 = 0 \\ \\ sinx + cosx = - 5$

Вынесем за скобку √2 и в скобке можно заметить синус суммы:

$\sqrt{2} ( \frac{ \sqrt{2} }{2} sinx + \frac{ \sqrt{2} }{2} cosx) = - 5 \\ \\ \sqrt{2} sin(x + \frac{\pi}{4} ) = - 5 \\ \\ sin(x + \frac{\pi}{4} ) = - \frac{5}{ \sqrt{2} }$

Так как значения синуса принадлежат промежутку от - 1 до 1

Значит, здесь нет корней




ОТВЕТ: - π/4 + πn, n € Z