Question

1) Найти общий член соответствующего степенного ряда

∞
∑ Un (x).
n=1

Найти интервал сходимости этого ряда и исследовать его поведение ряда на концах интервала сходимости. Найти значение суммы ряда в точке x₀ точностью до 0.001, выписав соответствующее число слагаемых и сославшись на теорему Лейбница.

$\frac{x-2}{3} +\frac{3(x-2)^2}{3^2} +\frac{5(x-2)^3}{3^3}+....... ,$ x₀ = 1.5

2) Вычислить определенный интеграл с точностью до 0.0001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд.

$\int\limits^1_0 {x} \, dx$

x=e^((-2x)^6))

Answer 1

$\frac{x-2}{3} +\frac{3(x-2)^2}{3^2} +\frac{5(x-2)^3}{3^3} +...=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)(x-2)^n}{3^n} \\ \\ a_n=\frac{2n-1}{3^n} \\ \\ a_{n+1}=\frac{2(n+1)-1}{3^{n+1}} =\frac{2n+1}{3*3^n} \\ \\ R= \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n-1)*3*3^n}{(2n+1)*3^n} =3\\ \\ |x-2|<3 \\ \\ -3<x-2<3 \\-1<x<5$

$1) x=-1 \\ \\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)*(-3)^n}{3^n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n(2n-1)*3^n}{3^n} =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n(2n-1)$

Ряд из модулей:

$\sum_{n=1}^{\infty}(2n-1)$

Необходимый признак сравнения:

$\lim_{n \to \infty} (2n-1)=\infty \neq 0$ - ряд расходится (в том числе и по признаку Лейбница)

$2) \ x=5 \\ \\ \sum_{n=1}^{\infty}=\frac{(2n-1)*3^n}{3^n} =\sum_{n=1}^{\infty}(2n-1)$ - расходится по необходимому признаку

интервал сходимости: х∈(-1;5)

Сумма ряда с точностью 0,0001:

$x=1.5 \\ 1) n=1 \\ |\frac{1.5-2}{3}| =|-0.1666...|>0.001\\ \\ 2) n=2 \\ |\frac{3(1.5-2)^2}{3^2}| =|0.0833...|>0.001\\ \\ 3) n=3\\ \\ |\frac{5(1.5-2)^3}{3^3} |=|-0.02314...|>0.001\\ \\ 4) n=4 \\ \\ |\frac{7(1.5-2)^4}{3^4} |=|0.0054..|>0.001 \\ \\ 5) n=5 \\ \\ |\frac{9(1.5-2)^5}{3^5} |=|-0.0011..|>0.001\\ \\ 6) n=6 \\ \\ |\frac{11(1.5-2)^6}{3^6} |=|0.0002..|<0.001$

Значит нужно взять 5 первых членов ряда:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)(x-2)^n}{3^n}\approx \frac{(2*1-1)(1,5-2)}{3}+\frac{(2*2-1)(1,5-2)^2}{3^2}+\frac{(2*3-1)(1,5-2)^3}{3^3}+\\ \\ \frac{(2*4-1)(1.5-2)^4}{3^4}+\frac{(2*5-1)(1.5-2)^5}{3^5}\approx -0.102$

2 задание:

$\int\limits^1_0 e^{(-2x)^6} \, dx$

Проверьте условие