Question

Помогите решить систему неравенств


$\left \{ {{3x^{2}+2xy+3\leq0} \atop {y^{2}+6y+18x\leq0}} \right.$

Answer 1

Умножим первое неравенство на 3 и сложим со вторым:

$3(3x^2+2xy+3)+(y^2+6y+18x)\leqslant0\\(9x^2+6xy+y^2)+(6y+18x)+9\leqslant0\\(3x+y)^2+2\cdot 3\cdot(3x+y)+3^2\leqslant 0\\(3x+y+3)^2\leqslant 0\\3x+y+3=0\\y=-3(x+1)$

Подставляем найденное значение y в систему:

$\begin{cases}3x^2-6x(x+1)+3\leqslant 0\\9(x+1)^2-18\leqslant 0\end{cases}\\\begin{cases}-3x^2-6x+3\leqslant 0\\(x+1)^2\leqslant 2\end{cases}\\\begin{cases}(x+1)^2\geqslant 2\\(x+1)^2\leqslant 2\end{cases}\\(x+1)^2=2\\x=-1\pm\sqrt2$

Подставляем найденные значения x в выражение для y и получаем ответ.

Ответ. $(x, y)=(-1\pm\sqrt2,\mp3\sqrt2)$