12) На сторонах AB, BC, CD и AD ромба ABCD взяты точки P, K, H, M соответственно. Каждая из прямых PM, KH, PK параллельна одной из осей симметрии ромба. Диагональ AC пересекает отрезок PM в точке E, а отрезок KH в точке T
а) докажите,что диагонали четырехугольника EPКT равны
б) определите вид четырёхугольника MPKH.
Ответы
1) Симметриями ромба являются его диагонали. Значит, PM || BD , KH || BD , PK || AC .
Так как PM || BD , KH || BD , то PM || KH , РK || AC
Значит, четырёхугольник EPKT - параллелограмм
По свойству ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны =>
AC перпендикулярно BD
К тому же PM || BD , KH || BD
Значит, отрезки KH и PM перпендикулярны отрезку AC
PK || AC, KH || PM , KH и PM перпендикулярны отрезку AC
Из всего этого следует, что параллелограмм EPKT является прямоугольником
По свойству прямоугольника:
Диагонали прямоугольника равны, что и требовалось доказать
б)
Так как ромб - это симметричная фигура
следует, что относительно диагоналей AC и ВD происходит симметрия =>
∆ ABC = ∆ АСD
Из первого пункта было сказано, что EPKT является прямоугольником
Значит, прямоугольник EPKT симметрично накладывается на четырёхугольник METH, которые вследствие симметричности является также прямоугольником. А значит, весь четырехугольник МРKH является прямоугольником.
Для точности докажем, что точки Р и М, К и Н симметричны относительно диагонали АС
∆ АРЕ = ∆ АЕМ - по катету и острому углу ( угол ВАС = угол САD - по свойству ромба ; АЕ - общая сторона )
Значит, РЕ = ЕМ
Аналогично доказывается, что КТ = ТН . Поэтому точки Р и К соответственно симметричны точкам М и Н относительно диагонали АС.
ОТВЕТ: прямоугольник
Ромб ABCD симметричен относительно диагоналей AC, BD.
PM || BD || KH, PK||AC
(Если точки находятся по разные стороны от диагонали, то, очевидно, отрезок, соединяющий точки, пересекает диагональ и не может быть ей параллелен.)
1) Диагонали ромба перпендикулярны, AC⊥BD. Прямые, параллельные перпендикулярным, перпендикулярны*, PM⊥AC, KH⊥AC, PK⊥BD. Смежные стороны EPKT лежат на перпендикулярных прямых, EPKT - прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны.
2) Стороны ромба равны, диагональ делит ромб на равнобедренные треугольники. Прямая, параллельная диагонали, отсекает подобный равнобедренный треугольник, PB=BK, MA=AP, KC=CH. Из равных длин вычитаем равные, AP=KC. Противоположные углы ромба равны, MA=AP=KC=CH => △MAP и △KCH равны по двум сторонам и углу между ними, PM=KH. MPKH - параллелограмм (противоположные стороны равны и параллельны). PM||BD, PK⊥BD => PM⊥PK. Параллелограмм с прямым углом - прямоугольник.
____________________________________________________________
* Соответственные углы при параллельных равны. Если секущая пересекает одну параллельную под прямым углом, то и другую она пересекает под прямым углом.
