Question

1) Найти площадь четырехугольника с вершинами А(-1,0), В (-3, -4), С (-7, -5), D (-9, 0).
27, 26, 25, 24.
2) Найти все значения параметра А, при которых график функции y = (a-1)x^2 - ax +1 имеет единственную точку пересечения с осью абсцисс.
3) в равнобедренную трапецию с основанием 4 см и боковой стороной 10 см вписана окружность. Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Answer 1

1) Найти площадь четырехугольника с вершинами А(-1,0), В (-3, -4), С (-7, -5), D (-9, 0).

Найдём его площадь как разность большого прямоугольника и вычтем ненужные части. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, а площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон.

Ответ: 29.5

2) Найти все значения параметра А, при которых график функции $y=(a-1)x^{2} -ax+1$ имеет единственную точку пересечения с осью абсцисс.

Ось абсцисс - это ось X. Следовательно, уравнение должно иметь одно решение (пересечение) при $y=0$

Необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был равен нулю.

$D=(-a)^{2}-4(a-1)=a^2-4a+4=(a-2)^2=0; a=2$

Ответ: 2

3) В равнобедренную трапецию с основанием 4 см и боковой стороной 10 см вписана окружность. Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Так как трапеция равнобедренная, то $AD=BC$

Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны:

$AB+CD=AD+BC$

$4+CD=20; CD=16$

$AB=GH; GD=CH$ (по построению)

$2DG=CD-AB=16-4=12; DG=12/2=6$

По теореме Пифагора для треугольника ADG:

$AG=\sqrt{AD^{2}-DG^{2}}= \sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$

$sin(ADC)=\frac{AG}{AD}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$

По теореме Пифагора для треугольника ACG:

$AC=\sqrt{(CH+HG)^{2}+AG^{2}}= \sqrt{(6+4)^{2}+8^{2}}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$

По расширенной теореме синусов:

$\frac{AC}{sin(ADC)} =2R$

$2R=\frac{2\sqrt{41}}{0.8}= \frac{5}{2} \sqrt{41}$

$R=\frac{5}{4} \sqrt{41}$

Ответ: $\frac{5}{4} \sqrt{41}$ см.