Question

Решить уравнение .Оно ниже

Answer 1

Решить неравенство :

$log_{1+2cosx}(1 + 3sinx)>log_{1+2cosx}(2+cosx)$

ОДЗ основания логарифма

$\left \{ {{1+2cosx>0} \atop {1+2cosx\neq}1} \right.;\left \{ {{2cosx>-1} \atop {2cosx\neq}0} \right. ;\left \{ {{cosx>-0,5} \atop {cosx\neq}0} \right.\\ \\ \left \{ {{-2\pi/3+2\pi k<x<2\pi/3+2\pi k} \atop {x\neq}\pi/2+\pi n} \right.$

ОДЗ подлогарифмических выражений

$\left \{ {{1+3sinx>0} \atop {2+cosx>0}} \right. ;\left \{ {{3sinx>-1} \atop {cosx>-2}} ;\left \{ {{sinx>-1/3} \atop {x:R}} \right. \right.; \\ \\ \left \{ {{-arcsin(1/3)+2\pi k<x<\pi +arcsin(1/3)+2\pi k} \atop {x:R}} \right.$

ОДЗ: x ∈ (-arcsin(1/3)+2πk; π/2+2πk)∪(π/2+2πk; 2π/3+2πk); k∈Z

$log_{1+2cosx}(1 + 3sinx)>log_{1+2cosx}(2+cosx)$

Так как основания логарифмов содержат переменную х, то решение неравенства разбивается на 2 случая: основание больше единицы и основание положительное меньше единицы.

1)

$\left \{ {{1+2cosx>1} \atop {1+3sinx>2+cosx}} \right. ;\left \{ {{cosx>0} \atop {3sinx-cosx-1>0}} \right.\\ \\ a)cosx>0;-\frac{\pi}{2}+2\pi k<x<\frac{\pi}{2}+2\pi k$

Для второго неравенства системы можно воспользоваться формулами универсальной тригонометрической подстановки, так как по ОДЗ

x ≠ π + 2πk

b)    3sinx - cosx - 1 > 0

$3*\dfrac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}} -\dfrac{1-tg^2\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}} -1>0\\ \\ \dfrac{6tg\frac{x}{2}-1+tg^2\frac{x}{2}-1-tg^2\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}} >0\\ \\ \dfrac{6tg\frac{x}{2}-2}{1+tg^2\frac{x}{2}} >0$

Так как знаменатель дроби   1+tg²(x/2)≥1,   то знак неравенства зависит только от числителя

6 tg (x/2) - 2 > 0

tg (x/2) > 1/3

arctg (1/3) + πm < x/2 < π/2 + πm,   m ∈ Z

2arctg (1/3) + 2πm < x < π + 2πm

С учетом первого неравенства и ОДЗ

x ∈ (2arctg (1/3) + 2πk; π/2 + 2πk), k ∈ Z

2)

$\left \{ {{0<1+2cosx<1} \atop {1+3sinx<2+cosx}} \right. ;\left \{ {{-0,5<cosx<0} \atop {3sinx-cosx-1<0}} \right.$

a)    -0,5 < cosx < 0.   Решение состоит из двух интервалов

        x ∈ (-2π/3 + 2πk; -π/2+2πk) - не подходит под ОДЗ

        x ∈ (π/2 + 2πk; 2π/3 + 2πk)

b) Второе неравенство решается аналогично первой системе с помощью универсальной тригонометрической подстановки, только со знаком '<'

     6 tg (x/2) - 2 < 0

     tg (x/2) < 1/3

     -π/2 + πp < x/2 < arctg (1/3) + πp,  p∈Z

     -π + 2πp < x < 2 arctg (1/3) + 2πp

Так как из первого неравенства   x ∈ (π/2 + 2πk; 2π/3 + 2πk) , то данная система не имеет решений.

Ответ: x ∈ (2 arctg(1/3) + 2πk; π/2+2πk);   k∈Z

==========================================

2 способ. Покороче.

ОДЗ: x ∈ (-arcsin(1/3)+2πk; π/2+2πk)∪(π/2+2πk; 2π/3+2πk); k∈Z

Метод рационализации.Неравенство 

$log_{1+2cosx}(1 + 3sinx)>log_{1+2cosx}(2+cosx)$ 

при всех допустимых значениях х равносильно неравенству

$(1+2cosx-1)(1 + 3sinx-(2+cosx))\ \textgreater \ 0\\ 2cosx(3sinx-cosx-1)\ \textgreater \ 0$

Для sinx и cosx в скобках использованы формулы универсальной тригонометрической подстановки через tg(x/2). Такая замена возможна, так как      x = π + 2πh, h∈Z, в ОДЗ не входят.   (п.1)

$2cosx*\dfrac{6tg\frac{x}{2}-2}{1+tg^2\frac{x}{2}} \ \textgreater \ 0\\ \\ cosx* (3tg\frac{x}{2} -1)\ \textgreater \ 0\\ \\ a) cos x = 0; x = \frac{\pi}{2} +\pi m\\ \\b)3tg\frac{x}{2} -1=0; tg\frac{x}{2} =\frac{1}{3} ;\frac{x}{2} =arctg\frac{1}{3} +\pi s;x=2arctg\frac{1}{3} +2\pi s$

Знаки неравенства для интервала (-π; +π) с периодом 2πk

...... (-π) ++++++ (-π/2) ------- (2arctg(1/3)) ++++++ (π/2) ------ (π).......>x

С учетом периода и ОДЗ: x ∈ (2 arctg(1/3) + 2πk; π/2+2πk); k∈Z