Question

В ромб ABCD вписана окружность радиуса 12. Она касается стороны BC в точке P, причем CP:PB=9:16. Найти площадь ромба

Answer 1

Пусть коэффициент пропорциональности равен х. Тогда CP = 9x; PB=16x.

Пусть ABCD - ромб, О - точка пересечения диагоналей AC и BD; OP = 12.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OPB(∠BPO=90°):

$OB=\sqrt{BP^2+OP^2}=\sqrt{(9x)^2+12^2}=\sqrt{81x^2+144}$. Тогда BD=2*OB=2√(81x²+144).

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник BPC:

$OC=\sqrt{PC^2+OP^2}=\sqrt{256x^2+144}$. Тогда AC=2√(256x²+144).

Площадь ромба: $S=\dfrac{2\sqrt{81x^2+144}\cdot2\sqrt{256x^2+144}}{2}$

Зная, что h = 2r = 24, тогда S = BC*h=25x*24=600x

Приравнивая площади: $\displaystyle 600x=\dfrac{2\sqrt{81x^2+144}\cdot2\sqrt{256x^2+144}}{2}$

Равенство возможно при х=1, т.е. S = 300

Ответ: 300.