Question

помогите с решением, вообще забыл тему

Answer 1

Область определения: x >= 0

Функция синуса может принимать значения от -1 до 1.

Произведение двух синусов может равняться 1 только в двух случаях:

1) Оба синуса равны 1.

{ sin (pi*√x) = 1

{ sin (pi*√(x+6)) = 1

Решаем

{ pi*√x = pi/2 + 2pi*k; √x = 1/2 + 2k

{ pi*√(x+6) = pi/2 + 2pi*n; √(x+6) = 1/2 + 2n

Получаем

{ x = (1/2 + 2k)^2 = 1/4 + 2*1/2*2k + 4k^2 = 4k^2 + 2k + 1/4

{ x = (1/2 + 2n)^2 - 6 = 1/4 + 2*1/2*2n + 4n^2 - 6 = 4n^2 + 2n - 23/4

И этот x должен быть один и тот же

4k^2 + 2k + 1/4 = 4n^2 + 2n - 23/4

16k^2 + 8k + 1 = 16n^2 + 8n - 23

16k^2 + 8k + 24 = 16n^2 + 8n

Делим все на 8

2k^2 + k + 3 = 2n^2 + n

3 = 2n^2 - 2k^2 + n - k

(n - k)(2n + 2k) + (n - k) = 3

(n - k)(2n + 2k + 1) = 3

Так как n и k должны быть целыми, то скобки тоже целые.

а)

$\left \{ {{n-k=1} \atop {2n+2k+1=3}} \right.$

$\left \{ {{n=k+1} \atop {2(k+1)+2k+1=3}} \right.$

$\left \{ {{4k+3=3; k=0} \atop {n=k+1=0+1=1}} \right.$

k = 0; x = 4k^2 + 2k + 1/4 = 1/4;

n = 1; x = 4n^2 + 2n - 23/4 = 4 + 2 - 23/4 = 1/4

x1 = 1/4

б)

$\left \{ {{n-k=-1} \atop {2n+2k+1=-3}} \right.$

$\left \{ {{n=k-1} \atop {2(k-1)+2k+1=-3}} \right.$

$\left \{ {{4k-1=-3; k=-1/2} \atop {n=k-1}} \right.$

Это не решение, потому что k получилось нецелое.

в)

$\left \{ {{n-k=-3} \atop {2n+2k+1=-1}} \right.$

$\left \{ {{n=k-3} \atop {2(k-3)+2k+1=-1}} \right.$

$\left \{ {{4k-5=-1; k=1} \atop {n=k-3=-2}} \right.$

k = 1; x = 4k^2 + 2k + 1/4 = 4 + 2 + 1/4 = 25/4;

n = -2; x = 4n^2 + 2n - 23/4 = 16 - 4 - 23/4 = 25/4

Но если мы подставим 25/4 в уравнение, то увидим, что это не корень.

$sin(\pi \sqrt{\frac{25}{4}})*sin(\pi\sqrt{6+\frac{25}{4}})=sin(\frac{5\pi}{2})*sin(\frac{7\pi}{2})=1(-1)=-1$

г)

$\left \{ {{n-k=3} \atop {2n+2k+1=1}} \right.$

$\left \{ {{n=k+3} \atop {2(k+3)+2k=0}} \right.$

$\left \{ {{4k+3=0} \atop {n=k+3}} \right.$

Это не решение, потому что k получилось нецелое.

2) Оба синуса равны -1.

{ sin (pi*√x) = -1

{ sin (pi*√(x+6)) = -1

Решаем

{ pi*√x = -pi/2 + 2pi*k; √x = -1/2 + 2k

{ pi*√(x+6) = -pi/2 + 2pi*n; √(x+6) = -1/2 + 2n

Получаем

{ x = (-1/2 + 2k)^2 = 1/4 - 2*1/2*2k + 4k^2 = 4k^2 - 2k + 1/4

{ x = (-1/2 + 2n)^2 - 6 = 1/4 - 2*1/2*2n + 4n^2 - 6 = 4n^2 - 2n - 23/4

И этот x должен быть один и тот же

4k^2 - 2k + 1/4 = 4n^2 - 2n - 23/4

16k^2 - 8k + 1 = 16n^2 - 8n - 23

16k^2 - 8k + 24 = 16n^2 - 8n

Делим все на 8

2k^2 - k + 3 = 2n^2 - n

3 = 2n^2 - 2k^2 - n + k

(n - k)(2n + 2k) - (n - k) = 3

(n - k)(2n + 2k - 1) = 3

а)

$\left \{ {{n-k=1} \atop {2n+2k-1=3}} \right.$

$\left \{ {{n=k+1} \atop {2(k+1)+2k-1=3}} \right.$

$\left \{ {{4k=3} \atop {n=k+1}} \right.$

Это не решение, потому что k получилось нецелое.

б)

$\left \{ {{n-k=-1} \atop {2n+2k-1=-3}} \right.$

$\left \{ {{n=k-1} \atop {2(k-1)+2k-1=-3}} \right.$

$\left \{ {{4k-3=-3; k=0} \atop {n=k-1=0-1=-1}} \right.$

k = 0; x = 4k^2 - 2k + 1/4 = 1/4;

n = -1; x = 4n^2 - 2n - 23/4 = 4 + 2 - 23/4 = 6 - 23/4 = 1/4

x3 = x1 = 1/4

в)

$\left \{ {{n-k=-3} \atop {2n+2k-1=-1}} \right.$

$\left \{ {{n=k-3} \atop {2(k-3)+2k-1=-1}} \right.$

$\left \{ {{4k-6=0} \atop {n=k-3}} \right.$

Это не решение, потому что k получилось нецелое.

г)

$\left \{ {{n-k=3} \atop {2n+2k-1=1}} \right.$

$\left \{ {{n=k+3} \atop {2(k+3)+2k-1=1}} \right.$

$\left \{ {{4k+5=1; k=-1} \atop {n=k+3=-1+3=2}} \right.$

k = -1; x = 4k^2 - 2k + 1/4 = 4 + 2 + 1/4 = 25/4;

n = 2; x = 4n^2 - 2n - 23/4 = 16 - 4 - 23/4 = 12 - 23/4 = 25/4

Но, как мы уже знаем, 25/4 корнем не является.

Ответ: x = 1/4