Question

При каком значении параметра а сума квадратов корней уравнения х^2+(а-4)х-2а-1=0 принимает наименьшее значение?

Answer 1

$x^2+(a-4)x-2a-1=0$

По теореме Виета

$x_1+x_2=4-a\\ (x_1+x_2)^2=(4-a)^2\\ x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=16-8a+a^2\\ x_1^2+x_2^2=16-8a+a^2-2x_1x_2$

по теореме Виета

$x_1x_2=-2a-1 \ \Rightarrow \ -2x_1x_2=4a+2$

тогда

$x_1^2+x_2^2=a^2-4a+18$

Рассмотрим график функции

$y=a^2-4a+18$

это парабола, ветви вверх ⇒ наименьшее значение функции достигается в вершине

$a_0=\dfrac{4}{2}=2$

Ответ: 2

Answer 2

По теореме Виета
{x₁+x₂=-(a-4)
{x₁x₂=-2a-1

(x₁+x₂)²=(a-4)²
x₁²+x₂²=(a-4)²-2x ₁x ₂
x₁²+x₂²=(a-4)²+2(2a+1)

(a-4)²+2(2a+1)=a²-8a+16+4a+2=a²-4a+18=a²-4a+4+14=(a-2)²+14
Данное выражение имеет наименьшее значение 14 при a=2

Ответ: a=2