Question

Вычеслить определённый интеграл, применив указанную подстановку. 5 пример

Answer 1

$\sqrt{x} =t\ \Rightarrow x=t^2\ \Rightarrow dx=2tdt\\ x= \ln^22\ \rightarrow t= \ln2; \ \ x= 1\ \rightarrow t= 1$

$\int \limits_{1}^{\ln2} 2e^{2t}tdt = \int \limits_{1}^{\ln2} td(e^{2t}) = te^{2t} \Bigg |_{1}^{\ln2} - \int \limits_{1}^{\ln2} e^{2t}dt = \\ = te^{2t} \Bigg |_{1}^{\ln2} - \frac{1}{2} e^{2t} \Bigg |_{1}^{\ln2} = ( te^{2t} -\frac{1}{2} e^{2t} ) \Bigg |_{1}^{\ln2} = e^{2t}(t-\frac{1}{2} )\Bigg |_{1}^{\ln2} =\\ = e^{2\ln2}(\ln2-\frac{1}{2} )-e^{2}(1-\frac{1}{2} )=4\ln2-2-\frac{1}{2}e^{2}$