Question

Помогите найти сумму ряда

Answer 1

Выпишем частичную сумму ряда:
$\displaystyle\sum_{n=2}^N\frac1{(5n-2)(5n+3)}=\sum_{n=2}^N\frac 15\left(\frac1{5n-2}-\frac 1{5n+3}\right)=\\=\frac15\left(\frac 18-\frac1{13}+\frac1{13}-\frac1{18}+\frac1{18}-\frac1{23}+\dots+\frac1{5N-2}-\frac1{5N+3}\right)$

Получилась так называемая телескопическая сумма: все слагаемые, кроме первого и последнего, сокращаются. Остаётся
$\displaystyle\sum_{n=2}^N\frac1{(5n-2)(5n+3)}=\frac15\left(\frac 18-\frac1{5N+3}\right)$

Тогда
$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac1{(5n-2)(5n+3)}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=2}^N\frac1{(5n-2)(5n+3)}=\frac15\left(\frac 18-0\right)=\frac1{40}$