Question

Сколько существует пятизначных натуральных чисел, в которых хотя бы
одна из последних четырёх цифр не меньше предыдущей?

Answer 1

Рассмотрим пятизначное число abcde, в котором a>b>c>d>e, иначе говоря все цифры расположены в порядке убывания. Если из всех пятизначных чисел вычесть количество указанных чисел, то получится количество чисел с нужным свойством (т.е где хотя бы одно из неравенств нарушено).
Найдем количество пятизначных чисел, где a>b>c>d>e. Возьмем 10 цифр и расположим их в порядке убывания: 9,8,7,6,5,4,3,2,1,0. Вычеркивая любые пять из них, будем получать нужное число. Таких чисел $C_{10}^{5}$; Всего пятизначных чисел 9*10⁴; Отсюда находим ответ: $9\times10^{4}-C_{10}^{5}=89748$